確率論で考える

確率論で考える

人狼ゲームを遊びにあたって、確率はどこまで有益な情報になるか?
ということを考えた、読み物になっております
人狼ゲームは説得・推理ゲーム…とくに説得部分に重点を置いたものなので
基本的に確率だけで勝つことは難しいでしょう
※貴方がどんなにすばらしい理論を持っていても信頼されなかったら無意味ですよね
それでも確率論を考えることで「なんとなくこっちかな?」といったヒューマンエラーも防げます

第一回「人間の直感はあまりあてにならない」

人狼ゲームに限らず、直感的で大体これくらいかな?
と思ったことは意外と読みを外していることが多いです。
それを確認するために1つ問題を考えてみましょう
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ある部屋があります。
この部屋に入るには誕生日(○月×日)が必要です。
さて、誕生日が被る組み合わせがいる確率が70%を超えるのは大体何人部屋に入ったときでしょう?
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閏年は省いてかんがえると、366人集めると100%になりますね
となると半分の180人くらいで50%なので、もう少し多い?
いやいや、誕生日被りは学校のクラスでも2クラスに1つはあったし、
案外70~80人集まったら70%超えるのでは?

まずは2人の誕生日が同じになる確率を調べてみる
2人目が1人目と違う誕生日になるのは…
364/365 である
つまり2人の誕生日が同じになる確率は…
1 - 364/365 = 0.00274…(0.2%)
駅や学校で、適当な2人に誕生日を聞くことを繰り返してみてください
だいたい500回に1回の割合で誕生日が同じになるでしょう

3人ならどうでしょうか?
3人目が1人目&2人目と違う誕生日である確率は
363/365
1 - (364/365 * 363/365) = 0.00821…(0.8%)

4人なら…
1 - (364/365 * 363/365 * 362/365) = 0.0164…(1.6%)

ではn人なら…
1 - (365! / 365^n * (365 - n)!)
という一般形が生まれます
この式が0.7を超えるnの値は30となるので、
30人集まれば70%の確率で同じ誕生日の人がいるということになります

40人なら90%、50人なら97%になり、70人もいればほぼ100%になります
ためしにFacebookなどで確認してみると良いでしょう

今回は人の直感が意外とあてにならないことが確認できました
たとえば…
人狼ゲームにおいて、先に占い師宣言があり、2人目が後だしで占い師宣言をした場合
「いやいや、追いかけ宣言はいかにもあやしいぞ!」となることがあると思います
そこで、今一度冷静になりどちらが本物かを考えられると良いですね
1人目が本物だとした場合…2人目が本物だった場合…

第二回最後まで残った場合の勝率

ゲームも終盤になり、人数が3人4人…
しかし、お互いの役職の決め手となる証拠がない!
※俗にいう、運ゲー

運ゲーになった場合、市民・人狼どちらが有利でしょうか?
※役職は市民 or 人狼のみ、人狼はゲームを勝つための最善の投票をする
(つまり人狼は自分が勝つか引き分ける手しか打たないとする)
【市民2人、人狼1人】
1.市民A→市民B,市民B→市民A,人狼→市民A
2.市民A→市民B,市民B→市民A,人狼→市民B
3.市民A→市民B,市民B→人狼,人狼→市民B
4.市民A→人狼,市民B→市民A,人狼→市民A
5.市民A→人狼,市民B→人狼,人狼→市民A
6.市民A→人狼,市民B→人狼,人狼→市民B
の6パターンで、うち4パターンで人狼勝利(66%)

【市民3人、人狼1人】
1.市民A→市民B,市民B→市民A,市民C→市民A,人狼→市民A
1.市民A→市民B,市民B→市民A,市民C→市民A,人狼→市民C
1.市民A→市民B,市民B→市民A,市民C→市民B,人狼→市民B
1.市民A→市民B,市民B→市民A,市民C→市民B,人狼→市民C
1.市民A→市民B,市民B→市民A,市民C→人狼,人狼→市民A
1.市民A→市民B,市民B→市民A,市民C→人狼,人狼→市民B
1.市民A→市民B,市民B→市民C,市民C→市民A,人狼→市民A
1.市民A→市民B,市民B→市民C,市民C→市民A,人狼→市民B
1.市民A→市民B,市民B→市民C,市民C→市民A,人狼→市民C
1.市民A→市民B,市民B→市民C,市民C→市民B,人狼→市民A
1.市民A→市民B,市民B→市民C,市民C→市民B,人狼→市民B
1.市民A→市民B,市民B→市民C,市民C→人狼,人狼→市民B
1.市民A→市民B,市民B→市民C,市民C→人狼,人狼→市民C
1.市民A→市民B,市民B→人狼,市民C→市民A,人狼→市民B
1.市民A→市民B,市民B→人狼,市民C→市民A,人狼→市民A
1.市民A→市民B,市民B→人狼,市民C→市民B,人狼→市民A
1.市民A→市民B,市民B→人狼,市民C→市民B,人狼→市民B
1.市民A→市民B,市民B→人狼,市民C→市民B,人狼→市民C
1.市民A→市民B,市民B→人狼,市民C→人狼,人狼→市民B
…(以下省略)
57パターン
見るからに人狼が勝つパターンが多いですね

本当にそうでしょうか?
この理論は非常に大きな「穴」があります
まず、投票が順番に行われていること
非対面型なら一斉投票、対面型ならお互いに見えないように投票を行うので、
実際には人狼が「周りの投票をみて投票先を変える」ことは不可能に近いです。
※たとえ、許されていても人狼の人が最後に投票できる可能性はさらに低いです

結論から言うと、このパターンの場合は確率で勝率を求めるのは難しそうです
ただし、順番に投票だと上のように圧倒的人狼有利なので、投票前の会話で
「みんな誰に投票する予定?」とさりげなく聞くことで投票先が絞れるので、
人狼は勝率を多少あげることができます。
なので、人狼の人は「誰が誰に投票するつもりなのか」ということを常に把握しておけるようにしましょう